물질의 광학적 성질(2), Ellipsometry 광학부품(1) - 분산모델, 광원

2-3. 유전체와 Cauchy, Sellmeir 모델

 

• 유전체의 개념

유전체란 유리 등과 같이 광학적으로 투과나 반사의 측정이 가능한, 유전적 성질을 가진 절연체를 지칭한다. 결국 band 구조가 반도체의 경우와 같이 band gap이 반도체(보통 1eV 근처)보다는 너무 커서 실온에서 전자가 열에너지만으로 interband transition을 하기 힘든 경우를 말한다. 

 

• Cauchy, Sellmeir 모델

광학에서 Cauchy 모델은 특정 투명 물질에 대한 빛의 굴절률과 파장 사이의 경험적 관계를 나타내는 모델이다. 수학자 아우구스틴루이 카우치(Augustin-Louis Cauchy)의 이름을 따서 1836년에 정의되었다.
Cauchy 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같이 나타낸다. 

여기서 n은 굴절률이고, λ은 파장, A, B, C 등은 이미 알려진 파장에서 측정된 굴절률에 방정식을 적용해 물질을 결정할 수 있는 계수다. 

일반적으로 다음과 같은 2항 형식의 방정식을 사용하면 충분하다.

일반 광학 재료에 대한 계수 표는 다음과 같다.

Material	A	B
Fused silica	1.4580	0.00354
Borosilicate glass BK7	1.5046	0.00420
Hard crown glass K5	1.5220	0.00459
Barium crown glass BaK4	1.5690	0.00531
Barium flint glass BaF10	1.6700	0.00743
Dense flint glass SF10	1.7280	0.01342

Cauchy가 이 방정식에 근거한 광물질 상호작용 이론은 후에 잘못된 것으로 밝혀졌다. 특히 이 방정식은 가시광선 파장 영역에만 유효하다. 적외선에서는 방정식이 부정확해지고, 변칙적인 분산 영역을 나타낼 수 없다. 그럼에도 불구하고, 그것의 단순한 수학 공식은 몇몇 응용 분야에서 유용하게 사용된다.

Sellmeir 모델은 비정상적으로 분산된 영역을 보완하는 Cauchy 모델의 후기 개발 모델로, 자외선, 가시광선, 적외선 스펙트럼 전반에 걸쳐 물질의 굴절률을 보다 정확하게 구현한다.

여기서 n은 굴절률이고, λ은 파장이며, Bi와 Ci는 실험적으로 Sellmeier 계수를 결정한다. 오른쪽 항은 한 파장 √Ci에서 흡수 공명 강도 Bi의 합계를 나타내는 항이다. 물질에 대해 모든 항이 지정된 경우, absorption peaks에서 멀리 떨어진 긴 파장에서 n의 값은 다음과 같은 경향이 있다.

여기서 εr은 매질의 상대 유전 상수다.

때때로 Sellmeir 방정식은 두 항의 형태로 사용된다.

여기서 계수 A는 긴 파장에서 굴절률에 대한 단파장(예: 자외선) 흡수 기여도의 근삿값이다. 이외에도 온도, 압력 및 기타 변수로 재료의 굴절률 변화를 설명할 수 있는 Sellmeir 방정식의 다른 변형식들이 존재한다.

 

2-4. Kramers-Kronig(K-K) relation

투명한 물질의 흡수 계수와 굴절률 사이의 수학적 관계를 나타낸 관계식으로, Kramers-Kronig 관계를 사용하면 굴절률 profile과 큰 스펙트럼 범위에서 측정할 수 있는 주파수에 의해 일어난 손실만으로 물질의 색 분산(chromatic dispersion)도 계산할 수 있다. 

 

 

4. Ellipsometry 광학 부품

1-1. 광원 및 detector

Ellipsometry에 사용되는 광원의 선택을 위해서는 다음 사항들을 고려해야 한다.

 

1. 밝기(intensity): 측정치에서 Signal to Noise의 비율을 높이기 위해서는 detector가 수용 가능한 범위 내에서 충분한 밝기를 내야 한다. Polarizer와 Analyzer를 지날 때마다 광량은 이론적으로 절반으로 줄어들며, 또한 시편에서 일부만 반사가 일어난다. 분광기에서는 일차 회절(first order diffraction)만 사용하고 나머지는 버리고, detector의 효율은 100%가 되지 않아 광원에서 나온 빛 중 일부분만 측정에 기여하게 된다. 이러한 손실들을 고려하여 광원을 선택해야 한다.

 

2. Collimation: 빛을 퍼지게 하기는 쉬우나 모으게 하기는 쉽지 않다. Collimation이 중요한 이유는 일단 빛을 모아 밝기를 키우기도 Collimation 된 빛이 모든 광부품의 입사각을 정의하기 때문이다. 

 

3. 안정성: 광원이 안정적으로 나오지 않으면 측정된 값의 오차를 유발하게 된다. 정확하고 안정적인 Data 확보를 위해서는 광원의 안정성과 함께 모든 시스템의 안정성에 신경써야 한다.

 

4. 파장의 범위: 아래 표와 같이 광원의 파장 범위는 다양하여 그 목적에 맞는 선택이 필요하다. 이러한 광원 선택 시에는 lens, polarizer, 분광기, detector 등 역시 그 파장 영역에 맞는 것으로 교체해야 한다. 

광원 명	사용 가능 파장 영역
Xe-arc lamp	200~2500nm
Deuterium lamp	160~400nm
Tungsten Halogen lamp	350~2700nm
Mercury lamp	200~2500nm
IR source(globar)	1~25um

5. 빔의 질: Collimation이 잘 된 빛이라도 빛의 단면에서의 밝기나 파장의 균질도 또한 중요하다. detection 부분에 Slit을 사용할 경우 입구가 매우 작은데, 빛의 균질도가 안 좋은 경우 rotating polarizer와 같은 회전 부품이 있을 때 그 기계적 움직임에 따라 빛의 밝기가 다른 부분이 detector에 들어가 밝기의 변화를 초래할 수 있다. 또한, rotating polarizer형의 경우 광원이 가진 부분편광(partially polarized)이 문제가 된다. 대부분의 방전 램프가 약간씩의 부분적인 편광을 가졌고, lazer의 경우도 편광이 있는 것이 일반적인데, 광원의 형태나 위치에 따라 이 부분편광의 정도가 다르므로 이를 잘 이용하거나 아예 잔류 편광의 영향이 없도록 해야 한다.